El concepto de semejanza en matemática

El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad.  En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si "guardan" una proporción entre ellos.  Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre semejanza y proporcionalidad.

1. Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa.  Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:5000, es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad.  Luego de medir con una regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa 15000 metros en la realidad.  Note que el mapa es una representación semejante a una porción del globo terráqueo, de allí que, deba guardar una misma proporción, con el fin de que las medidas que se tomen sobre él sean lo más cercanas a su valor real. 
2. La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo más semejante posible al objeto real, además de guardar una proporcionalidad adecuada, en otras palabras, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.
3. Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3x4 pulgadas que luego es ampliada a 6x8 pulgadas.  Ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.
4. Dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, guardan la misma proporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área, diámetro).

El último ejemplo refleja que siempre, dos objetos que son del mismo tamaño y forma se pueden catalogar como semejantes.  Se debe tener cuidado con la afirmación inversa, es decir, objetos de diferente tamaño no son siempre semejantes, todo depende de que guarden o no la misma proporción, tal es el caso de los ejemplos uno, dos y tres.   En otras palabras, para que dos objetos sean semejantes bajo la concepción matemática, no siempre tienen que ser iguales.

Resumiendo:  dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de sus partes respectivas.

Semejanza de triángulos

e podría afirmar, con lo que ya se conoce, que dos triángulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporción.

Definición

Dos triángulos son semejantes si los ángulos homólogos son congruentes y los lados homólogos son proporcionales.

Importante

Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, se escribe:

DABC ~ DDEF

Es muy importante el orden en que se escriban los vértices de cada triángulo, ya que esto establece los ángulos y los lados homólogos.